向量代数与空间解析几何

向量相关

方向角

一向量 **r **与 $x,y,z$ 轴正向的夹角 $\alpha、\beta、\gamma$ 称为其方向角，方向角的余弦成为其方向余弦。

设 r=($x,y,z$)

那么有

​ $cos\alpha = \frac{x}{|r|}, cos\beta = \frac{y}{r}, cos\gamma = \frac{z}{r} $

进而有

​ $cos^2\alpha + cos^2\beta + cos^2\gamma = 1 $

投影

将向量 r 在 $u$ 轴上的投影记为：$prj_ur$ 或 $(r)_u$

设向量 r 与 $u$ 轴正向的夹角为 $\theta$，则：

• (a)$_u = |a|cos\theta$

• (a + b)$u$ = (a)$_u$ + (b)$_u$

向量积

c 为 a，b的向量积记为 c = a $\times$ b.

c 满足：

• |c| = |a||b|$sin\theta$
• c$ \perp $a，c$ \perp $b，且三者满足右手法则

右手法则：

右手四指指向a ，向b内旋，拇指方向为c的方向

向量积的性质

• a $\times$a = 0
• a $\parallel$ b $\Leftrightarrow$ a $\times$ b = 0

向量积的运算律

1. 反交换律 ：b $\times$ a = $-$a $\times$ b
2. 分配律：(a + b) $\times$ c = a $\times$ c + a $\times$ c
3. 结合律：($\lambda$a) $\times$ b = $\lambda$(a $\times$ b)

向量积的坐标计算

​ a $\times$ b = $\begin{vmatrix} i&j&k \ a_x&a_y&a_z \ b_x&b_y&b_z \end{vmatrix}$

计算时可以写为

​ $\begin{matrix} a_y&a_z&a_x&a_y \ b_y&b_z&b_x&b_y \end{matrix}$

交叉相乘可得到三个值，对应 i，j，k 的参数

$a_y\times b_z - a_z \times b_y$

$a_z\times b_x - a_x \times b_z$

$a_x\times b_y - a_y \times b_x$

平面及其方程

方程

设平面的一个法向量为 n = $(A,B,C)$

一般方程

​ $Ax+By+Cz+D=0$

点法式方程

该平面过点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$

则方程为

​ $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0) = 0$

截距式方程

设平面与$x,y,z$ 轴的交点为$a,b,c$

则该方程为

​ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

平面关系

设有两平面

​ $\Pi_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$

​ $\Pi_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$

其法向量为

​ n$_1=(A_1,B_1,C_1)$

​ n$_2=(A_2,B_2,C_2)$

则两面的夹角：

​ $cos\theta = \frac{|n_1·n_2|}{|n_1||n_2|}$

特别的：

$\Pi_1\perp\Pi_2\Leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0$

$\Pi_1\parallel\Pi_2\Leftrightarrow \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$

点面距离

设有平面$\Pi:Ax+By+Cz+D=0$，点$P_0(x_0,y_0,z_0)$

则点到平面的距离为

​ $\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

直线及其方程

方程

一般方程

设直线 L 是平面 $A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ 和 $A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$的交线

那么可以写为

​ $A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$

​ $A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$

对称式方程

设直线的方向向量为$s=(m,n,p)$，且直线过点$(x_0,y_0,z_0)$

那么对称式方程可以写为

​ $\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$

参数式方程

对于对称式方程，设其比值为 t，那么就有

​ $x=x_0+mt$

​ $y=y_0+nt$

​ $z=z_0+pt$

直线关系

线线关系

设有直线：

​ $L_1:\frac{x-x_1}{m_1}=\frac{y-y_1}{n_1}=\frac{z-z_1}{p_1}$

​ $L_2:\frac{x-x_2}{m_2}=\frac{y-y_2}{n_2}=\frac{z-z_2}{p_2}$

方向向量分别为：s$_1$，s$_2$

设两线夹角为$\theta$，则

​ $cos\theta=\frac{|s_1·s_2|}{|s_1||s_2|}$

特别的：

​ $L_1\perp L_2\Leftrightarrow m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2=0$

​ $L_1\parallel L_2\Leftrightarrow \frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{p_1}{p_2}$

线面关系

设有直线和平面：

​ $L:\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$

​ $\Pi:Ax+By+Cz+D=0$

方向向量：$s=(n,m,p)$

法向量： $n=(A,B,C)$

设线面夹角为$\theta$，则

​ $sin\theta = \frac{n·s}{|n||s|}$

特别的：

​ $L\perp \Pi\Leftrightarrow \frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p}$

​ $L\parallel \Pi\Leftrightarrow Am+Bn+Cp=0$

点线距离

点线距离可利用公式 $|\frac{|AP \times d|}{|d|}|$ 计算，其中，A 为线上任一点，d 为直线方向向量。$AP\times b$ 求得的是 AP 与 d 构成的平行四边形的面积，除去 **d ** 的模后得到的就是高，即点线距离。

曲面及其方程

旋转曲面的方程

曲线所在坐标面	曲线方程	旋转轴	旋转曲面方程
$yoz$	$f(y,z)=0$	$z$轴	$f(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)$
$yoz$	$f(y,z)=0$	$y$轴	$f(y,\pm\sqrt{x^2+z^2})$
$xoz$	$f(x,z)=0$	$x$轴	$f(x,\pm\sqrt{y^2+z^2})$
$xoz$	$f(x,z)=0 $	$z$轴	$f(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)$
$xoy$	$f(x,y)=0$	$x$轴	$f(x,\pm\sqrt{y^2+z^2})$
$xoy$	$f(x,y)=0$	$y$轴	$f(\pm\sqrt{x^2+z^2}, y)$

柱面

一直线 $l$ 沿着曲线 $C$ 平行移动形成的轨迹叫做柱面。其中，$l$ 被称作母线、 $C$ 被称作准线。

对于准线在 $xoy$ 平面， $l$ 平行于 $z$ 轴的曲线，可以表示为：

​ $F(x,y)=0$

​ $z=0$